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谈数学史视角的球体积教学设计思考

  择要:对牟合方盖法盘算球体积教养中涌现的三个难点——牟合方盖的由来、抽象牟合方盖的懂得及牟合方盖体积的盘算举行逐一冲破,以期对教养设计有启示和自创作用。

  关键词:球体积,牟合方盖,数学史

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  一、问题的提出

  球体积公式是高中数学基础内容,差别的推导体式格局常常会到达差别的教诲后果。有的老师经由进程切片求极限的体式格局得出球体积公式,培育了先生极限思想。有的老师哄骗球面小锥体联合球表面积公式推得球体积公式,培育了先生近似求和的思想。有的老师借此机会探寻古今中外的体式格局,向先生展示人类聪明的结果。比方,老师经由进程截面情理(祖暅情理)的引入,验证得出半球体积等于同底等高圆柱体挖去同底等高圆锥体的体积(朴重法)。这类处置体式格局只管先容了中国古代的首要情理,却舍弃了学问活跃的发生发展进程,未能充足展现其教养功效和文明功效。若能进一步引入中国古代盘算球体积的首要平面———牟合方盖,哄骗牟合方盖盘算球体积,不只能够让先生阅历前人“以方套圆,化圆为方”的求解进程,拓展先生的思想,仍是一次加强民族自豪感的文明教诲和爱护国家维护主权教诲。有老师测验考试向先生解说上述各类推导体式格局,从课后先生的问卷调查[1]来看,牟合方盖法“太深奥,难以懂得,本身基础不也许想到,即便屈身看懂了,也没法掌握”。何故前人一千多年前的推导体式格局不能为先生接收?先生在懂得上遇到哪些困难?只有知道了这些,老师能力更好地举行针对性的教养设计。

  二、牟合方盖法盘算球体积的教养难点及其对策

  有学者将数学史融入数学教养分为四种体式格局:附加式、复制式、适应式和重构式。[2]对“深奥,难以懂得”的牟合方盖法,老师起首应当懂得史料,并依照先生的数学现实找到教养中的难点,能力举行发明性的教养设计,将数学史料更好地融入教养,最大化地施展其教诲功效。

  难点1:结构牟合方盖的缘由

  球体积的盘算是古代几多学中的一个困难。为了取得球体积的准确公式,东西方都竭尽了好几代人的聪明,哄骗那时所有的迷信结果,发明出许多首要的数学体式格局和精致的几多结构物。在西方有古希腊阿基米德的力学体式格局和17 世纪意大利人卡瓦列利的不成分量体式格局,而在西方则有我国刘徽所结构的牟合方盖。牟合方盖不是天然无形体的模写,而是为论证的需求结构进去的不凡外形的几多体。因而,它的发觉是以深入的数学思想与体式格局为指导的,此数学思想即截面情理,等于我们现在所说的“祖暅情理”。

  前人对截面情理早有深入懂得。从《九章算术》“商功章”各求积术的编排挨次来看,作者有意将所有圆体支配在相应方体之后,即按方堢壔(方柱体)与圆堢壔(圆柱体)、方亭(方台)与圆亭(圆台)、方锥与圆锥的挨次叙说。前人先盘算方体体积,进而哄骗截面情理,经由进程“方体体积∶圆体体积= 截面方形面积∶截面圆面积”得出圆体体积(如图1)。

  类似地,在盘算球体积时,前人仍试图哄骗截面情理,只是还缺一个首要的辅助工具,即球的方体“外衣”。这个外衣的体积较易求得,进而哄骗截面积之比求得球体积。

  刘徽以前的前人使用的球外衣为圆柱,“圆囷为方率,浑为圆率”,而圆柱的外衣则为正方体(如图2,d默示球直径)。依照刘徽推测,前人以为球体积∶圆柱体积= 圆柱体积∶正方体体积=π∶4(这里 π 取近似值3),从而推知球体积 (《九章算术》的《少广》章有所谓的“开立圆术”,即已知球体积,求其直径的体式格局。开立圆术曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即丸径。以古代公式表达,即 由此推知 ,V代表球体积,d默示球直径)。刘徽指出《九章算术》中的该公式是不准确的,并在“开立圆术”注文中指出了一条推算球体积公式的准确途径。他发清楚明了一个新的平面形———牟合方盖(“方”,指截面为正方形;“盖”,原为白茅编成的覆盖物,后用作器物上的盖子;“牟合方盖”一词可谓语意双关,它既指球的四周切合的方外罩,又指它形似上下联合的两把方伞[3]),并哄骗牟合方盖来求得球体积。

 

 

  

  我们没关系来重温刘徽发明牟合方盖的进程。图2 中,圆柱与正方体的截面面积比一直为 π∶4,依照这类思路给球套的外衣也应有这类截面性子。刘徽发觉以圆柱套球,圆与外方仍有两面不切合(图3(1)),如要到达四周都切合,则按垂直标的目的再套上一个圆柱即可,经由一番思索,刘徽终于发觉了球的牟合方盖(图3(2)为半个牟合方盖)。

  刘徽发觉牟合方盖,正是前人“以方套圆,化圆为方”的解题思路,而终极能由方求圆则依赖截面情理这一首要朴重。若是老师能在浮现牟合方盖前讲以上这些作为铺垫,先生就能对“为何要引入牟合方盖”有所领会。

  难点2:怎样懂得抽象的牟合方盖

  普通的教养资料中浮现的牟合方盖有两种景遇(如图4):经由进程图4(1)正方体中两垂直圆柱的公众局部,或图4(2)中两根垂直的相反圆柱的公众局部,来得出图4(3)中的牟合方盖。无论(1)图仍是(2)图,要让先生设想出相交公众局部是(3)都不是一件容易的工作。这时候候先生就会感觉牟合方盖太抽象,不容易懂得。有些老师也许会求助于3D多媒体,有些老师也许会求助于什物制造。切实,老师没关系沿用刘徽发明出牟合方盖的思想,即截面以正方形外切圆形,让先生设想牟合方盖的外观。如图5 所示,让先生设想一刀一刀平行地切球体,失掉一个个大小差别的圆,以圆的外切正方形取代圆,包管这些正方形中心重合,对角线叠合,如许就构成了牟合方盖的形态(这里老师也能够让先生画出牟合方盖的三维图来加深懂得)。

 

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  阅历过这番设想与操作后,再向先生先容图3和图4,先生更能接收牟合方盖的抽象。这里老师需求对先生提出更进一步的要求,以便为盘算牟合方盖体积做预备。球内切牟合方盖,相切于哪些局部?老师可经由进程平面的方圆相切图帮助先生懂得,相切局部在牟合方盖的面上,恰恰是球的两个垂直大圆。

  难点3:怎样盘算牟合方盖的体积

  刘徽指出,在每一高度上的程度截面圆与其外切正方形的面积之比都等于 π∶4,因而球体积与牟合方盖体积之比也应当等于 π∶4。牟合方盖的体积怎么求呢?终极刘徽不能够解决,他说“敢不阙疑,以俟能言者”,他提出问题,等候前人来解题。只管刘徽不推证出球体积公式,但他为前人指出了解决球体积的准确标的目的。

  两百年后,刘徽的问题终于被祖冲之和他的儿子祖暅解决了。我们来简略回顾他们的解决体式格局,斟酌到牟合方盖的对称性,祖暅盘算其1/8 体积,将其放于小正万博水晶宫,ManbetX手机版登录,manbetx手机版欢迎您方体中斟酌(图6)。祖暅不直接求1/8牟合方盖体积,转而求小正方体中扣除1/8 牟合方盖后的残存体积。常规说来,残存平面外形不规则,更不容易求。然而祖暅哄骗截面情理,发觉残存局部体积应等于一个“阳马”(一棱垂直于底面,且底面为正方形的棱锥,图7(3)中椎体O-ABCD即为一个颠倒的阳马)的体积,而阳马体积又等于小正方体体积的1/3,从而得出1/8 牟合方盖的体积为小正方体体积的2/3。

  在讲图6 的程度截面以前,老师有必要与先生一同对图6 作深化视察。先生应能懂得弧AE,AG实则为大圆周长的1/4,AF为牟合方盖的棱的一局部。明白这些之后,老师可与先生一同讨论图6 平面的程度截面(见图7)。

  图7 中,设球半径为r,取截面高为h,三幅图中暗影局部面积依次为S1,S2,S3。经由进程勾股定理和比例等学问,易得S1=r2-h2,S2=S3=h2。由截面情理 ,故 。再由V球∶V牟合方盖=π∶4,得 。

 

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  三、进一步地反思

  教养中引入数学史料能够有多种教养功效,不只能够拓展先生的视线,激起深造兴味,并且能够让先生在“再发觉”和“再发明”的进程中感悟其中的数学思想及精华,为锻炼先生思想供应绝佳契机。在阅历了前人的探求进程后,老师可进一步引导先生举行反思。

  思索一:牟合方盖的体积盘算还有其余体式格局吗

  祖暅在盘算牟合方盖体积时哄骗了对称性,起首盘算1/8 的体积。老师能够激励先生对此体式格局作进一步拓展。能不能起首盘算1/4 或1/2 的体积呢?怎样借助截面情理结构新的平面呢?以1/2 牟合方盖(图8(1))为例,设球半径为r,则高h处的截面面积为4(r2-h2)。老师可引导先生使用类比思想,得出形如图8(2)的新平面—与1/2 牟合方盖同底等高的柱体挖去一个同底等高的倒方万博水晶宫,ManbetX手机版登录,manbetx手机版欢迎您锥。显然,两副图中暗影局部面积相反。进而借助新平面求得1/2牟合方盖的体积。

 

 

  思索二:球体积公式的推导能否简化

  中国前人盘算球体积哄骗了其外衣“牟合方盖”直接求得。老师可引导先生简化推导进程,若是不哄骗牟合方盖,能否能够直接哄骗截面情理得出球体积公式?斟酌半个球体,若球半径为r,截面高为h处的程度截面圆面积为 π(r2-h2),这时候候结构的新平面截面积等于两圆之差(如图9),该新平面为与半球同底等高的圆柱内挖掉一个同底等高的圆锥。这等于我们通常在教科书上看到的推导体式格局。

  经由如许一些步骤的改良,先生不只能够知晓前人的盘算体式格局,赞叹前人的聪明聪明;更能经由进程本身的聪明改良前人的体式格局,拓展思想,求简求优。

  经由进程上述推导进程得出球体积公式,置信先生对截面情理睬有更深入地懂得,对中国古代盘算球体积进程中的首要发明———牟合方盖的发生及体积盘算会有更深化的领会。这里我们只是对牟合方盖法教养中也许遇到的难点举行剖析,以期对老师的教养设计有自创作用。而适合的教养融入体式格局,则有待老师作进一步的测验考试与探求。

  参考文献

  [1]任明骏.关于球体积公式教养各别的调查与剖析[J].数学教养,2005(4).

  [2]汪晓勤.HPM的多少研究与瞻望[J].中学数学月刊,2012(2).

  [3]李继闵.《九章算术》及其刘徽注研究[M].太原:山西人民教诲出版社,1990.

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